Moment ve Denge

MOMENT VE DENGE (1. BÖLÜM)



MOMENT;
Kapıyı ya da pencereyi açıp kaparken,şişelerin kapağını açarken,musluğu açıp kapatırken,arabaların direksiyonunu çevirirken,anahtarla kapıyı açıp kapatırken vb. olaylarda,kuvvetin döndürme etkisinden faydalanırız.

                       İki nokta ya da en az bir noktası sabit olan cisimlere bir kuvvet uygulandığında,cisim sabit bir eksen ya da nokta etrafında dönme hareketi yapar.Cismin iki noktası sabit ise,cisim bu iki sabit noktadan geçen eksen etrafında döner.Bu eksene dönme ekseni denir.Kapı ve pencerelerde olduğu gibi.Eğer sabit nokta bir tane ise,cisim o noktadan geçen dik eksen etrafında döner.Kuvvetin bu döndürme etkisine moment denir.

                        Bir kuvvetin bir noktaya göre momentinin büyüklüğü,o noktadan kuvvetin etki çizgisine dik olan uzaklık ile kuvvetin büyüklüğünün çarpımına eşittir.



                        Moment M ile gösterilir ve vektörel bir büyüklüktür.Şekilde F kuvvetinin O noktasına göre büyüklüğü M=F*d ifadesinden bulunur.

Birimi,Newton*metre dir.

                      Burada, F uygulanan kuvvetin büyüklüğünü,d ise dönme noktasından kuvvet doğrultusuna inilen dikmenin uzunlığunu yani kuvvet kolunu belirtir.Burada d uzunluğunun,çubuğun l boyuna eşit olduğuna dikkat edilmelidir.

                  Burada,F ile d her zaman birbirine dik alınmak zorundadır.d uzaklığı,kuvvetin etki çizgisine dönme noktasından inilen dik uzaklıktır.


                                                                          

Şekilde O noktasından sabitlenmiş çubuğa F1 ve F2 kuvvetleri uygulanmıştır. Bu kuvvetlerin,etki doğrultusu dönme noktasından geçtiğinden döndürücü etkisi yoktur.Yani momentleri sıfırdır.

 

M1=F1*0=0

M2=F2*0=0

F kuvveti, çubuğun L ucuna şekildeki gibi etki ederse bu kuvvetin O dönme eksenine göre momentinin büyüklüğü iki ayrı yoldan bulunur.

1.YOL;


Birinci yol olarak ,kuvveti şekildeki gibi bileşenlerine ayırırız ve ayrı ayrı bileşenlerin O noktasına göre momentini bulup dönme yönünü de dikkate alacak şekilde toplama işlemi yaparız.

Fx bileşeninin,O noktasına göre momentinin büyüklüğü sıfırdır.Çünkü kuvvetin uzantısı O noktasından geçmektedir.

Mx=0

Buna göre toplam moment Fy bileşeninin oluşturduğu momentttir.

M=Fy*ℓ (Fy=F*sin)

M=F* ℓ* sin olur.

 

2.YOL;

 

İkinci yol olarak, kuvvetin şekildeki gibi doğrultusunu çizeriz.O noktasından kuvvet doğrultusuna dikme indirerek kuvvet kolunu buluruz(d).

Dik üçgenden

d=* ℓ* sin dır.

F kuvvetinin momentinin büyüklüğü

M=F*d

M= F* ℓ* sin olur.

 

ÖRNEK;



 

                                                                              → →     

Birim kare bölmelere ayrılmış yatay düzlemdeki F1,F2 ve F3 kuvvetlerinin O noktasına göre momentlerinini büyüklükleri M1,M2,M3 arasındaki ilişki nedir?

 

ÇÖZÜM;


                     

Şekildeki F2 ve F3 kuvvetleri O noktası üzerinden geçen dik eksen üzerindedir.Bir başka deyişle kuvvetler etki çizgisi üzerindedir.Bu yüzden her ikisinin momenti de sıfırdır.

M2=0  M3=0

F1 kuvvetini ise doğrultusunu değiştirmeden paralel kaydırarak K noktasına taşınırsa,O noktasına dik doğrultuda olur.Bu durumda birirm karede köşegen uzunluğu birim olduğundan F1 kuvvetinin büyüklüğü ve OK uzunluğu   birim olur.Moment alınacak olursa

M1=F1*|OK|

M1=*=2 birim olarak bulunur.

Bu durumda

M1>M2=M3 dür.

 

İkinci bir yol da;

Kuvveti bileşenlerine ayırarak O noktasına dik bileşeni tespit etmektir.

F1x  kuvvetinin O noktasına göre momenti,uzantısının O noktasından geçmesi nedeniyle,dik uzaklığı sıfır,bu nedenle momenti sıfırdır.

F1y kuvvetinin momenti ise

M1y=F1y*d=1*2=2 bulunur.

M1y=M1’dir.

BİLEŞKE MOMENT;


                                    Şekildeki gibi kuvvetlerin moment değerleri bulunurken önce kuvvetlerin döndürme yönleri belirlenir.

                              Bunu anlamak için sabit nokta göz önüne alınarak F kuvveti yönünde çubuk çekildiğinde dönme yönü belli olur.Daha sonra eğik kuvvetler var ise çubuğa dik bileşenleri bulunur ve momenti hesaplanır.(Çubuk ile aynı doğrultulu bileşenin döndürücü etkisi yoktur.)

                               Msağ pozitif alınırsa,Msol negatif alınacaktır.Eğer cebirsel toplam pozitif çıkarsa sistem seçilen pozitif yönde,negatif çıkarsa sistem seçilen negatif yönde çıkan değer kadarlık bir bileşke momentle dönüyor demektir.

                               Cebirsel toplamın sıfır çıkması yani bileşke momentin sıfır olması sistemin dengede olması anlamına gelir.Yukarıdaki şekilde  kuvvetlerin O noktasına göre,momentlerinin cebirsel toplamı sıfır ise, sistem dengededir.Yani sistem ya duruyordur ya da sabit dönüyordur.Sistem dengede ise aynı yönlü döndüren kuvvetlerin momentleri toplamının büyüklüğü,zıt yönlü dödüren kuvvetlerin momentleri toplamının büyüklüğüne eşittir.

 

∑M=Msağ-∑sol=0

 

Çubuğa birden fazla kuvvet etki ederse ve herhangi bir noktaya göre toplam isteniyorsa,kuvvetlerin dönme yönü tespit edilip o noktaya göre momentleri ayrı ayrı bulunur ve toplanır.


Adam çocuktan daha büyük kuvvet uygulamasına rağmen kapı dönmüyor.Adam ve çocuğun momentleri eşit ve zıt yönlü olduğu için kapı dönmüyor.Dönme eksenine olan dik uzaklık küçük ise kuvvet büyük,dik uzaklık büyük ise kuvvet küçük olur.

 

ÖRNEK;




 

K noktasından geçen ve sayfa düzlemine dik eksen etrafında dönebilen 80 cm uzunluğundaki çubuğun ucuna dik olacak şekilde 2,5N luk kuvvet uygulanıyor.

Buna göre çubuğa uygulanan kuvvetin döndürücü etkisi ne kadardır?

 

ÇÖZÜM;

 

Çubuğa uygulanan kuvvetin dödürücü etkisi yani momenti M=F*d bağıntısı ile hesaplanır.Burada F newton,d metre cinsinden alındığından verilen değerlere göre,

D=80cm=0,8m olur.

Burada moment,

M=2,5*0,8

M=2N*m olur.

Çubuğa uygulanan kuvvetin dödürücü etkisi 2N*m dir denilir.

 

 

ÖRNEK;


Sayfa düzlemine dik O noktası etrafında serbestçe dönebilen çubuğun X ve Y noktalarına ölçekli F’ ve 2F kuvvetleri uygulanmıştır.Bu kuvvetlerin momentleri,Mx,My olduğuna göre,bu momentlerin büyüklüklerinni oranı kaçtır?

 

ÇÖZÜM;

Çubuğun X noktasına uygulanan F’kuvvetinin bileşenlerine göre momenti alınır.Şekilde F’ kuvvetlerinin bileşenleri gösterilmiştir.Dikkat edildiğinde bu bileşenlerden F nin momenti sıfırdır.Çünlü uzantısı dönme noktası olan O noktasından geçiyor.Diğer bileşenin momenti ise her aralığa d denilirse,

MX=2F*2d=4F*d olur.

Y noktasına uygulanan 2F kuvvetinin momenti ise,dik uzaklığı şekildeki gibi 2d’dir.

Buradan My=2F*2d=4F*d olur.

Momentlerin büyüklükleri oranı,

Mx/My=4F*d/4F*d=1 dir.

 

ÖRNEK;



                                                                                → → →

Eş kenar üçgen şeklindeki levhaya şekildeki gibi F1,F2,F3 kuvvetleri uygulanmıştır.Levha,kenarortayların kesim noktası olan O noktasından geçen dik eksen etrafında 1 yönünde 3F*d kadarlık bir momentle dönebilmektedir.

                                              

F1=2F,F2=5F olduğuna göre,F3 kuvvetinin büyüklüğü ne olmalıdır?

ÇÖZÜM;

Kuvvetlerin O noktasına göre döndürme yönleri ve dik uzaklıkları şekildeki gibidir.2 yönü(+),1 yönü(-) seçilirse,toplam momentin(-) yönde 3F*d olduğu verilmiştir.

 

Eşkenar üçgende,O noktasının kenarın orta noktasına olan uzaklığı d kadar olur.

Yani d1=d2=d3=d dir.

∑M=F1*d1+F2*d2-F3*d3

-3F*d=2F*d+5Fd-F3*d

-3F=7F-F3

F3=10F dir.

 

ÖRNEK;

O noktasından geçen dik eksen etrafında dönebilen yatay düzlemdeki eşit bölmeli ve 5d uzunluklu çubuğa yatay

 → → → →

 F1,F2,F3,F4 kuvvetleri şekildeki gibi uygulanmıştır.Kuvvetlerin büyüklükleri sırayla F,2F,4F ve 3F olduğuna göre,hangi yönde ne kadarlık bir momentle döner?

 

ÇÖZÜM;

F1 kuvvetinin etkime çizgisi O dönme ekseninden geçtiği için dik uzaklık sıfırdır.                                                                                              

Dolayısıyla F1 kuvvetinin döndürme etkisi yani momenti sıfırdır.F2 ve F4 kuvvetlerinin O noktasına göre döndürme yönü(-) yönde,

F3ünki ise(+) yöndedir.Çubuğun her bir bölmesi d kadar olduğuna göre,toplam moment,

∑M=F3*d-(F2*2d+F4*3d)

∑M=4F*D-(F*2d+3F*3d)

∑M=4F*d-11Fd

∑M=-7F*d

Buna göre çubuk(-) yönde 7F*d büyüklüğündeki momentle döner.

 

ÖRNEK;

Ağırlığı önemsenmeyen eşit bölmeli çubuk K noktasından geçen dik eksen üzerinde serbestçe dönebilmektedir.Çubuk F1 ve 2F kuvvetlerinin etkisinde şekildeki gibi dengededir.

Buna göre F1 kuvvetinin büyüklüğü kaç F tir?(sin30=1/2)

 

ÇÖZÜM;

Çubuğun dengede kalabilmesi için K noktasına göre toplam momentin sıfır olması gerekir.Kuvvetlerin K noktasına göre momentleri birbirine eşitlenirse

2F*sin30*4=F1*2

2F1/2*4=2F1

F1=2F olur.

 

 

 

KUVVET ÇİFTİ;


Şekildeki gibi aynı düzlemde olup, aynı doğru üzerinde olmayan,değerce eşit fakat zıt yönlü paralel iki kuvvetin oluşturduğu sisteme kuvvet çifti denir.

                       Kuvvet çiftinin denge noktası yoktur.M=2F*d kadarlık bir momentle dönme sağlar.Muslukların dönmesi,sulamalarda kullanılan fiskiyelerin dönmesi,araba direksiyonlarının çevrilmesi kuvvet çiftine birer örnektir.

Direksiyon çevrilirken kuvvet çifti uygulanır.

 

DENGE;

Şekildeki gibi zemin üzerinde duran bir cisim,zemine ağırlığı kadar bir etki yapar.Cismin dengede kalabilmesi için,zemininde cismin ağırlığına eşit ve zıt yönlü bir kuvvet uygulaması gerekir.Buna aynı zamanda etki tepki prensibi denir.

      

 Fetki=-Ftepki

 

                              Bir cismin dengede kalabilmesi için cisim üzerine uygulanan kuvvetlerden  dengelenmemiş kuvvet kalmaması gerekir.


     

Şekilde F1 ve F2 kuvvetlerinin etkisinde kalan cisim dengelenebilmesi için,bileşke kuvvet eşit büyüklükte,bileşkenin uygulama noktasına uygulanan ve zıt yönlü olan kuvvete dengeleyici kuvvet denir.

                   Bir cismin dengede olması için,durması,sabit hızla doğrusal hareket ya da sabit hızla dönme hareketi yapması gerekir.

                  Cisim bir kuvvetin etkisinde iken duruyorsa,yani öteleme ve dönme hareketi yapmıyorsa statik dengede demektir.

                 Cismin statik dengede olması için iki şartın sağlanması gerekir.

 

DENGENİN BİRİNCİ ŞARTI;

 

                                    Cismin öteleme hareketi yapmaması için cisme uygulanan bütün kuvvetlerin bileşkesi sıfır olamlıdır.

                      

 ∑F=0 olmalıdır.

                                     Kuvvetlerin bileşkesinin sıfır olması demek,her eksen üzerindeki bileşenlerin cebirsel toplamının ayrı ayrı sıfıra eşit olması demektir.

                                     Yani yukarı yönlü bileşenlerin toplamı aşağı yönlü bileşenlerin toplamına eşit olmalıdır.Sağa doğru bileşenlerin toplamı,sola doğru bileşenlerin toplamına eşit olamalıdır.

                      

 ∑Fx=0

                      

 ∑Fy=0  olmalıdır.

 

Bu şart sağlandığında cisim ya duruyor ya da sabit hızla hareket ediyordur.Bir cismin dengede kalabilmesi için bu şart gerekli,fakat bazen yeterli değildir.

              

  

Çocuk dengede olduğuna göre uygulanan tüm kuvvetlerin toplamı sıfırdır.

 

DENGENİN İKİNCİ ŞARTI;

                           Dengenin birinci şartının sağlanması cismin her zaman dengede kalması anlamına gelmez.Örneğin kuvvet çiftinde

  

∑F=0 olmalıdır.Fakat toplam moment sıfır olmadığı için cisim dönme hareketi yapar.Cismin dönmeden dengede kalabilmesi için,cisim üzerine etki eden kuvvetlerin dönme noktasına ya da dönme eksenine göre toplam momentinin sıfır olması gerekir.

   

∑M=0 olmalıdır.

                  Toplam momentin sıfır olması demek,herhangi bir yönde döndürmek isteyen kuvvetlerin momentleri toplamı,ters yönde döndürmek isteyen kuvvetlerin momentleri toplamına eşit olması demektir.

                Cismin statik olarak dengede kalabilmesi için yukarıda belirtilen iki şartın sağlanması gerekir.

                 Eğer sistemin dengede olduğu söylenirse bu iki şart sağlanıyor demektir.Bu şartlara göre denklemler yazılarak istenilen değerler bulunur.

 

Bir cisim şekildeki gibi uygulama noktaları farklı olan kuvvetlerin etkisinde dengede kalıyorsa iki şartın gerçekleşmesi gerekir.

Bunlardan birinicisi ,  

                                                                                             

∑F=0 olmalıdır.İkincisi ise toplam moment sıfır olmalıdır. ∑M=0

Dengede kalan cisimlerde,dönme noktası hangi nokta seçilirse seçilsin toplam moment daima sıfır çıkar.Toplam momentin sıfır olması demek cisim ya dönmüyor ya da sabit hızla dönüyor demektir.

Bu iki şarta göre ;F1+F2=F3 olur.     

 

                           K noktasına göre moment alındığında F1 kuvvetinin momenti sıfır olur.F2 ile F3 kuvvetlerinin momentlerinin büyüklükleri ise birbirine eşit olur.O halde

F2*|KL|=F3*|KO| olur.

                          O noktasına göre moment alındığında F3 kuvvetinin momenti sıfır olur.F1 ile F2 kuvvetlerinin momentlerinin büyüklükleri ise birbirine eşit olur.O halde;

 F1*|KO|=F3*|LO| olur.

                          L noktasına göre moment alındığında F2 kuvvetinin momenti sıfır olur.F1 ile F3  kuvvetlerinin momentlerinin büyüklükleri ise birbirine eşit olur. O halde;

F1*|KL|=F3*|OL| olur.

 

1-KESİŞEN KUVVETLERİN DENGESİ;

                                     Doğrultuları birbirini kesen kuvvetlere kesişen kuvvetler denir.Şekildeki cisim kesişen üç kuvvetin etkisinde dengede ise,herhangi iki kuvvetin bileşkesi ters yöndeki üçüncü kuvvete eşit büyüklükte ve zıt yöndedir.

                                         Şekikdeki üç kuvvetin bileşkesi sıfır ise,

 

           

 F1+F2=-F3         

           

 F1+F3=-F2         

            

 F2+F3=-F1 dir.

LAMİ TEOREMİ

 

Keşişen   üç kuvvet dengede ise,kuvvetlerin,karşılarındaki açıların sinüslerine oranı sabittir.

Buna göre;

F1/sin 1=F2/ sin 2= F3/sin 3=sabit

Bu bağıntıya göre,kesişen üç kuvvet dengede ise,küçük açının karşısındaki kuvvet büyük,büyük açının karşısındaki kuvvet ise küçüktür.

Örneğin 3<2<1 ise F1<F2<F3 tür.

1=2 ise, F1=F2’dir.

Yorum Yaz
Arkadaşların Burada !
Arkadaşların Burada !